推导一个等价无穷小
推导e^x-1~x
我们都知道的一个很重要的等价无穷小就是:
在正式开始推导之前,我们首先要先明白几个定理,关于这几个定理我先给出,而省略其推导过程:
-
设有复合函数
满足 -
-
基本初等函数归为六类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数,基本初等函数在其定义域内都连续。
-
所有初等函数在其定义域内连续(由六种基本初等函数,经过有限次的四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。)
下面我来尝试着推导一下这个等价无穷小:
-
-
如果把上一个式子做一些变形,用e替换底数a,则根据上一个式子得出的结果,就能得到我们要证明的等价无穷小
对数换底公式
对数换底公式的证明:
- 设
,则有 - 两边同时取对数为:
,即 - 换回x,就得到
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