推导e^x-1~x

我们都知道的一个很重要的等价无穷小就是:

ex1xe^x-1\sim x


在正式开始推导之前,我们首先要先明白几个定理,关于这几个定理我先给出,而省略其推导过程:

  • 设有复合函数f[g(x)]f[g(x)]满足

    1. lim xx0g(x)=u0\lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = u_0

    2. y=f(u)在点u0y = f(u)\text{在点}u_0处连续

    lim xx0f[g(x)]=f(u0)=f[ lim xx0g(x)]\text{则}\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)]

  • 基本初等函数归为六类:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数,基本初等函数在其定义域内都连续。

  • 所有初等函数在其定义域内连续(由六种基本初等函数,经过有限次的四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。)

下面我来尝试着推导一下这个等价无穷小:

  1. 存在式子: lim xx0 log a(1+x)x解:原极限= lim xx0[ log a(1+x)1x]= log a[ lim xx0(1+x)1x]= log ae=1lna(这一步转换用到了对数换底公式,我在后面会给出这个公式及其证明)\text{存在式子:}\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\log_a(1+x)}{x}\\\text{解:原极限}=\lim_{x\rightarrow x_0}[\log_a(1+x)^\frac{1}{x}]\\=\log_a[\lim_{x\rightarrow x_0}(1+x)^{\frac{1}{x}}]\\=\log_ae\\=\frac{1}{lna}\text{(这一步转换用到了对数换底公式,我在后面会给出这个公式及其证明)}

  2. 如果把上一个式子做一些变形,用e替换底数a,则根据上一个式子得出的结果,就能得到我们要证明的等价无穷小

    lim xx0ln(1+x)x=1lne=1ln(1+x)x\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{lne}=1\\\text{即}ln(1+x)\sim x

对数换底公式

log ab= log cb log ca特别的,当c为e时: log ab=lnblna\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\\\text{特别的,当c为e时:}\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}

对数换底公式的证明:

  1. logab=xlog_ab=x,则有ax=ba^x=b
  2. 两边同时取对数为:xlna=lnbx\ln a=\ln b,即x=lnblnax=\frac{\ln b}{\ln a}
  3. 换回x,就得到 log ab=lnblna\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}