推导一个等价无穷小

推导e^x-1~x

我们都知道的一个很重要的等价无穷小就是：

$e^x-1\sim x$

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在正式开始推导之前，我们首先要先明白几个定理，关于这几个定理我先给出，而省略其推导过程：

• 设有复合函数$f[g(x)]$满足

  1. $\lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = u_0$

  2. $y = f(u)\text{在点}u_0处连续$

  $\text{则}\lim_{x\rightarrow x_0}f[g(x)]=f(u_0)=f[\lim_{x\rightarrow x_0}g(x)]$

• 基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数，基本初等函数在其定义域内都连续。

• 所有初等函数在其定义域内连续（由六种基本初等函数，经过有限次的四则运算或复合运算得到的函数称为初等函数。）

下面我来尝试着推导一下这个等价无穷小：

1. $\text{存在式子：}\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\log_a(1+x)}{x}\\ \text{解：原极限}=\lim_{x\rightarrow x_0}[\log_a(1+x)^\frac{1}{x}]\\=\log_a[\lim_{x\rightarrow x_0}(1+x)^{\frac{1}{x}}]\\ =\log_ae\\=\frac{1}{lna}\text{（这一步转换用到了对数换底公式，我在后面会给出这个公式及其证明）}$

2. 如果把上一个式子做一些变形，用e替换底数a，则根据上一个式子得出的结果，就能得到我们要证明的等价无穷小

   $\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{\ln(1+x)}{x}=\frac{1}{lne}=1\\ \text{即}ln(1+x)\sim x$

对数换底公式

$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\\ \text{特别的，当c为e时：}\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$

对数换底公式的证明：

1. 设$log_ab=x$，则有$a^x=b$
2. 两边同时取对数为：$x\ln a=\ln b$，即$x=\frac{\ln b}{\ln a}$
3. 换回x，就得到$\log_ab=\frac{\ln b}{\ln a}$